根和系数有什么关系(两道中等难度的函数题)
当我们学习一元一次方程的时候，知道一元一次方程中只有一个未知数，求解就变得相对容易。而对于一元二次方程，它的难点不仅是求解方程的两个根，也要面对各种类型的求解，有时候方程只有一个实数根，或者方程没有实数根。如果画出二次函数的抛物线，方程相关知识就变得很直观。
下面通过两个例题来讲解根与系数的关系，抛物线方程的求解。
一、根与系数关系的求解
一般一元二次方程的通用式子是ax^2+bx+c,对它进行变换的目的是为着求解题目中的相关系数，这个函数可以进行各种变换，每一种变换都要获得特定的目的，而对于初学二次函数的学生，要能够独立进行变换，而不是直接把课本上的变换结果直接写出来。
1、变换成两个一次项的乘积
在方程ax^2+bx+c=0中，如果求根公式大于等于0，可以进行变换，变换的过程其实就是对方程式进行因式分解，这里用到因式分解的知识，也是以前和大家所讲的一元二次方程的“难点”就是涉及到的知识点很多很多。
ax^2+bx+c=a(x+x1)(x+x2),这个式子的得到可以使用十字相乘法而获得，这个式子中的x1,x2假设是方程的两个根。十字相乘法是因式分解中使用最多的一种，特别在一元二次方程中。
2、变换成完全平方式的类型
ax^2+bx+c=a(x+h)^2+k,这个式子的应用主要是帮助看到这个函数的对称轴和顶点。这个式子在抛物线求顶点，求对称轴中经常用到，而且在一元二次方程中求最值也常用到。
ax^2+bx+c=a(x+x1)(x+x2) (第一种类型）
x^2+px+q=(x+x1)(x+x2) （第二种类型）
在第一种类型中，两根之和是-b/a,两根之积是c/a;而第二种类型中两根之和是-p,两根之积是q.
下面这道题具有代表性，从这个解题过程中，了解根与系数关系的基本解法。
例题1：设x1,x2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2的两个实数根，当m为何值时，x1^2+x2^2有最小值，并求出最小值是多少。
解析：这道题目是一道综合题，不但考察学生对根与系数关系的理解，还考察根与系数关系的计算，还间接考察不等式的求解。
从题目中看到方程中有x,m两个未知数，题目重点是求出m的值，可以这样求解：
x1+x2=4m/2=2m,x1x2=(2m^2+3m-2)/2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4m^2-2x(2m^2+3m-2)/2=2m^2-3m+4
=2(m-3/4)^2+7/8(上文提到这种式子是求最值时使用）
要注意一个细节，否则会出错，题目中讲到有两个实数根，则判别式一定是≥0的数，则（4m)2-4x2x2m^2+3m-2=-24m+16,-24m+16≥0,m≤2/3.
x1^2+x2^2=2(m-3/4)^2+7/8中一般情况下最小值时7/8，当取最小值时m=3/4,而题目中限定条件是m≤2/3，所以只有m=2/3时才有最小值，通过计算可得最小值为：2（2/3-3/4）^2+7/8=8/9.
最后的提示：在解答根与系数的关系中，要熟练掌握x1+x2,x1x2,x1^2+x2^2,x1^3+x2^3,x1-x2等式子的计算方法。有时遇到方程两个根都大于某数，或者都小于某数，或者一个大于几，另一个小于几，这个时候要用到（x1-a）(x2-b)这样的式子求解。
二、二次函数和抛物线
二次函数与抛物线，这是初中数学的难点，它还像牛皮糖一样跟随初中生进入高中，虽然很难，还要面对，而且在高中会发散，使解题难度再次加大。但是万变不离其宗，最基本的概念要掌握：
例2：已知二次函数y=x^2+2(a+3)x+2a+4的图像与x轴的两个交点横坐标分别是u,v,当实数a变动时，求（u-1）^2+(v-1)^2的最小值。
解析：这个题目要求（u-1）^2+(v-1)^2的最小值，其实就是要利用方程两个交点横坐标的值来求解关于a的方程的最小值，此题中要注意一个细节，就是求根公式一定大于等于0，
解：由题目可知，求根公式≥0，则4（a+3)2-4x(2a+4)=4a^2+24a+36-8a-16
=4a^2+16a+20=4（a+2）^2+4≥4,所以a在实数范围内可以取任何值。
（u-1）^2+(v-1)^2=u^2+v^2-2(u+v)+2=(u+v)^2-2uv-2(u+v)+2
从题目中可知u+v=-2(a+3), uv=2a+4
则(u+v)^2-2uv-2(u+v)+2=4（a+3）^2-2(2a+4)+4(a+3)+2=4a^2+24a+42
=4(a+3)^2+6
根据已知a为实数可知，当a=-3时，4(a+3)^2+6有最小值6.
总结：此题用到根与系数的关系，用到判别式的运算，用到判别式的计算，用到求最小值的运算等知识点。
写在最后的话
以上作者从三个方面，介绍二次函数的基本知识，并且用中等难度的题目做实例讲解。目的是帮助基础薄弱和基础中等和基础稍好的同学，在二次函数的解题上获得提升。解答函数的题型有很多种，关键在于能够根据题目意思，快速确定用什么方法解题，遇到难题也不要害怕，要沉着应战。如果遇到很灵活的题目，要灵活使用所学的知识进行求解。
备注：本文图片来自百度网络图片
