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2013江苏高考数学答案(2013年江苏高考数学真题)

福瑞号2022-11-21 06:48:21投稿120

大家好!本文和大家分享一道2013年江苏高考数学真题。这道题考查的是向量与三角函数的综合题,难度不算太大,但是题目非常经典,作为高中生应该掌握。接下来一起来看一下这道题。

2013江苏高考数学答案(2013年江苏高考数学真题)-图1

先看第一小问:证明向量垂直。

两个向量垂直,则两个向量的数量积为零,下面介绍2种证明方法(下面用小写字母的黑体表示向量)。

证法一:

将|a-b|=√2两边平方,得到|a-b|^2=(a-b)^2=2,即a^2-2a·b+b^2=2。由题意得,a^2=(cosα)^2+(sinα)^2=1,b^2=(cosβ)^2+(sinβ)^2=1,代入上式,整理可得到a·b=0,即ab

2013江苏高考数学答案(2013年江苏高考数学真题)-图2

证法二:

ab的坐标已知,那么可以先求出a-b的坐标,然后用向量数量积的坐标表示求解。

由题意知,a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),则有|a-b|=√2得:√[(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2]=√2。整理后得到,cosαcosβ+sinαsinβ=0。而a·b=cosαcosβ+sinαsinβ,即a·b=0,故ab

2013江苏高考数学答案(2013年江苏高考数学真题)-图3

再看第二小问:求角。

由题意知:a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),而c=(0,1)且a+b=c,则有:cosα+cosβ=0①,sinα+sinβ=1②。下面介绍3种处理方法。

解法一:

由①式得,cosα=-cosβ=cos(π-β)。由于0<β<α<π,则0<π-β<π,即有α=π-β。则sinα=sin(π-β)=sinβ,代入②式,可得sinα=sinβ=1/2,结合α、β的范围,可以求出α=5π/6,β=π/6。

2013江苏高考数学答案(2013年江苏高考数学真题)-图4

解法二:

由①^2+②^2,得:2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,则cosαcosβ+sinαsinβ=-1/2。由两角差的余弦公式,上式即cos(α-β)=-1/2。

由α、β的范围可知,0<α-β<π,所以α-β=2π/3,即α=β+2π/3。代入①式,整理得cosβ-√3sinβ=0,即tanβ=√3/3,从而解得β=π/6,α=5π/6。

2013江苏高考数学答案(2013年江苏高考数学真题)-图5

解法三:

用和差化积公式对①、②进行处理,得到2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=0③,2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]=1④,由③④可得cos[(α+β)/2]=0。结合α、β的范围,可知(α+β)/2=π/2。再代入④中,得cos[(α-β)/2]=1/2,则(α-β)/2=π/3。从而可以解出α、β的值。

2013江苏高考数学答案(2013年江苏高考数学真题)-图6

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