数二线性代数考哪些内容

数二线性代数考行列式、矩阵及其运算，矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容，涉及行列式的概念和基本性质、矩阵的算法和转置、向量组的线性相关问题、理解二次型标准化的过程等考点。数学二用的教材是同济版线性代数，考生需要夯实基础，训练数学思维，掌握好基本题型的解题思路和技巧，加强知识点的前后联系，分清重难点，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和解题技巧。

一、数二线性代数考试内容

1、行列式部分

考察行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理，要求考生要了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式;熟练掌握行列式的计算，采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算，或是采用降阶法进行计算。掌握范德蒙行列式，包括低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。

典型例题：计算行列式

解：

方法1：按行(列)展开.例如可按第一行展开.

方法2：利用行列式的性质转化为特殊三角形

方法4：

2、矩阵部分

考试内容包括矩阵的概念、矩阵的乘法、方阵乘积的行列式、方阵的幂、矩阵的转置、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价及其运算等。要求考生理解矩阵的概念，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质，重视矩阵运算。

典型例题：已知两个矩阵

满足矩阵方程A+2X=B，求未知矩阵X

解：由已知条件知

3、向量部分

这是线性代数考察重点，向量组的线性相关问题是重中之重，是每年必考的考点，考生需要掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义，明确如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。

典型例题：设向量组α₁=(1,1,1)^T，α₂=(1,2,3)^T,α₃=(1,3,t)^T。当t为何值α₁，α₂，α₃线性相关；当t为何值α₁，α₂，α₃线性无关。

解：设A=(α₁,α₂,α₃)

显然，当t=5时，R(A)=2<3，故α₁，α₂，α₃线性相关。

当t≠5时，R(A)=3，故α₁，α₂，α₃线性无关。

本题由于向量个数与向量的维数相同，也可以由它们所组成的3阶行列式是否等于零来确定向量组的线性相关性，也可以用定义，采用计算法来判定。

4、线性方程组

线性方程组解的问题是每年必考的知识点，要求考生要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。

典型例题：设向量组

试问：

(1)当λ为何值时，β能由α₁，α₂，α₃线性表示，且表示法唯一?

(2)当λ为何值时，β不能由α₁，α₂，α₃线性表示？

(3)当λ为何值时，β能由α₁，α₂，α₃线性表示，且表示法不唯一，并写出表示试。

解：设x₁,x₂,x₃，使x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β

由于

①当λ≠1,-2时，β能由α₁，α₂，α₃线性表示，且表示法唯一。

②当λ=-2时,

显然R(A)=2，R(B)=3，方程组无解，即B不能由α₁，α₂，α₃ 线性表示。

③当λ=1时,

显然R(A)= R(B)=1<3，方程组有无穷多解。

即

k₁,k₂为任意常数

故β能由α₁，α₂，α₃线性表示，且β=(k₁+k₂+1)α₁+k₁α₂+k₂α₃，k₁,k₂为任意常数

此类问题将线性表示问题转化非齐次线性方程组求解问题，按有唯一解、无解和有无穷多解说明β能由α₁，α₂，α₃唯一的线性表示，不能表示，有无穷多组表示法等。

5、特征值与特征向量

矩阵对角化的方法、特征值与特征向量的定义及性质、矩阵相似的定义、矩阵对角化的定义等，都是考生需要掌握的内容。要求考生会判断一个矩阵是否可以对角化，把相应的可逆矩阵P求出来，还要注意矩阵及其关联矩阵的特征值与特征向量的关系。

典型例题：设3阶方阵A满足A²-2A=0，且矩阵A的秩为2，求A的特征值。

解：设λ是A的特征值，x是A的关于λ所对应的特征向量，则有Ax=λx，在A²-2A=0是两端右乘x，得A²x-2Ax=0，即λ²x-2λx=0即λ(λ-2)x=0，由于x≠0，所以λ(λ-2)=0，得，λ=0，λ=2，又A的秩为2，得A的特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=2。

这是一个抽象矩阵求特征值的问题，由所给的已知条件求出λ，再根据约束条件(例A的秩等于2)确定A的特征值。

6、二次型

二次型是每年必考的一道大题，考查的是采用正交变换法将二次型标准化。要求考生理解二次型标准化的过程，掌握实对称矩阵的对角化，会判断二次型是否正定的一般方法。虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题，占有34分的分值，考生根据历年真题的考察重点，有针对性的复习。

典型例题：求一个正交变换x=Py，将f=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2x₂x₃化成标准形，并写出其标准形。

解：①将f写成矩阵

②求矩阵A的特征值

得A的全部特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=4

③由(A-λE)x=0 , 求A的特征向量

当 λ₁=λ₂=2 时，

解之得特征向量

当 λ₃=4 时，

解之得特征向量

④由于α₁，α₂，α₃ 已经正交,须单位化得

⑤令 P=(P₁,P₂,P₃) ，作x=Py为正交变换，将f化成标准形f=2y₁²+2y₂²+4y₃²

对于二次型

化成标准型的一般步骤：

1 .将f写成矩阵形式f=x^πAx

2 .|A-λE|=0 , 求A的全部特征值。

3 . 由(A-λE) x=0, 求A的特征向量。

4、不同的特征值所对应的特征向量已经正交，只须单位化

对于k重特征值 λ_k所对应的k个线性无关的特征向量，用施密特标准正交化成两两正交的单位向量。

5. 把两两正交的单位向量拼成正交矩阵P，作正交变换x=Py，则x=Py把f化成标准形f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+· · ·+λ_ny_n²

二、线性代数重要考点

1、线性代数概念多，定理多，公式法则多，符号多，考生一定要把公式概念搞清楚，记清公式的每个字母代表的含义，把公式定理概念认仔细认真地吃透，把重要的考点牢记。行列式计算常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。

2、矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，备考时需要考生在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。

3、基础线性相关问题涉及题型主要有向量组线性相关性的证明、判定向量组的线性相关性、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、判定一个向量能否由一向量组线性表出、与向量空间有关的命题。

4、矩阵的特征值、特征向量部分可划分为特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化，相关题型有数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。

5、二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理常考题型是填空选择题，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，考生要会用配方法、正交变换化二次型为标准形掌握二次型正定性的判别方法等。

三、考研数一、数二、数三的区别

1、考试科目区别

(1)线性代数：数学一、二、三均考察线性代数这门学科，数一、数二、数三中线性代数部分试题是一样的，不同的是数一多了向量空间部分的知识。

(2)概率统计：数学二不考察，数学一与数学三会考察，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，考试要求也是有区别的，如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，数三要求掌握泊松定理的结论和应用条件，考生在复习概率科目的时候一定要对照历年的考试大纲进行。

(3)高等数学：数学一、二、三均考察，而且考察的内容比较多，数一考察的范围比较广，基本涵盖整个教材，数二不考察向量代数与空间解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及无穷级数，数三不考察向量空间与解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及所有与物理相关的应用。

2、试卷考试内容区别

(1)数学一：高等数学第七章微分方程考欧拉方程，伯努利方程也会考，所有“近似”的问题都不考，第四章不定积分不考积分表的使用，第九章第五节不考方程组的情形，第十二章第五节不考欧拉公式。线性代数数学一考察行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。概率统计数一考概率论的基本概念、随机变量及其分布、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律及中心极限定理、样本及抽样分布、参数估计、假设检验。

(2)数学二：高等数学考第七章微分方程考伯努利方程，所有“近似”的问题都不考，不定积分不考积分表的使用，不考第八章空间解析几何与向量代数，第九章第五节不考方程组的情形，第十章二重积分、重积分的应用为止，后面的都不考了。线性代数数学二考行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。不考概率与数理统计。

(3)数学三：高等数学所有带*号的都不考，所有“近似”的问题都不考，第三章微分中值定理与导数的应用不考曲率，第四章不定积分不考积分表的使用，不考第六章定积分在物理学上的应用以及曲线的弧长，第七章微分方程不考可降阶的高阶微分方程，不考第八章空间解析几何与向量代数，第九章第五节不考方程组的情形，第十二章的级数中不考傅里叶级数。线性代数数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题。概率与数理统计数三不考参数估计中的区间估计。

3、对应考试的专业区别

数学一是理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，数学二是农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，数学三是经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计，高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。

4、适用的学科区别

数学一适用的学科是工学门类的力学、机械工程、光学工程、冶金工程、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程等一级学科中所有的二级学科、专业。工学门类的材料科学与工程、地质资源与地质工程、化学工程与技术、矿业工程、石油与天然气工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业。管理学门类中的管理科学与工程一级学科。

数学二适用的学科是工学门类的轻工技术与工程、纺织科学与工程、林业工程、农业工程等一级学科中所有的二级学科、专业。工学门类的地质资源与地质工程、材料科学与工程、化学工程与技术、环境科学与工程、矿业工程、石油与天然气工程等一级学科中对数学要求较低的二级学科、专业。

数学三适用学科为经济学门类的应用经济学一级学科中统计学、数量经济学二级学科、专业。管理学门类的工商管理一级学科中企业管理、技术经济及管理二级学科、专业。管理学门类的农林经济管理一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业。

5、难度上的区别

数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度，数学二由于内容较少，试题的灵活性也相对较大，总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。