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求函数值域的方法(高中必修一数学中)

福瑞号2023-02-17 06:15:07问答百科142
编首语:求函数值域是每年高考中必考的内容,其中的题型主要包括:求对数函数的值域,求指数函数的值域,求三角函数的值域,以及一些综合起来的题型,难度大大的增加,所以掌握求函数值域的方法和技巧,理解函数值域在综合题型中的应用,努力使自己在高考中脱颖而出。
求函数值域的方法(高中必修一数学中)-图1
函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别,我们要根据题目的变化,题型的变换,寻找最合适的解题方法,求值域的方法大致有主要有以下几种:
(1)观察法
对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
典型例题:
求函数值域的方法(高中必修一数学中)-图2

观察法求函数的值域

解题思路:这道题是一道反比例的题目,考察的是增减性问题,也就是单调性,由于y=1/x在【1,2】中是减函数,当x=1时,函数有最大值,为1,当x=2时,函数有最小值,为1/2,所以可以用直接法,把x=1和2分别代入函数中即可,则【1,1/2】
求函数值域的方法(高中必修一数学中)-图3

观察法求带有根号的函数值域

解题思路:这道题考察的是根号必须大于等于0这个知识点,因为根号必须大于等于0,所以根号加2就必须大于等于2,从而得出了这个函数的值域为y≥2.
(2)配方法
适用类型:二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
典型例题:
1、求y=f(m)=㎡-2m+5,m∈【-1,2】的值域
解题思路:利用二次函数的图像及性质可求的值域。
解法一:因为y=㎡-2m+5=(m-1)+4,其对称轴m=1,∵m∈【-1,2】
∴f(1)≤f(x)≤f(-1)
即4≤f(m)≤8
故求出函数y=f(m)=㎡-2m+5,m∈【-1,2】的值域为【4,8】
解法二:因为y=㎡-2m+5=(m-1)+4,其对称轴m=1,m∈【-1,2】
因为f(-1)=8
f(1)=4
f(2)=5
所以函数的最大值为8,最小值为4,函数的值域为【4,8】
解法三:因为y=㎡-2m+5=(m-1)+4,其对称轴m=1,∵m∈【-1,2】
结合图像,在m∈【-1,1)上,此函数是单调增函数,在(1,3】上,此函数是单调增函数,当m=1时,函数有最小值4,当m=-1时,函数有最大值8,应用了单调性求函数的值域。故求出函数y=f(m)=㎡-2m+5,m∈【-1,2】的值域为【4,8】
(3)换元法:
适用类型:主要针对对复合函数的值域,也就是对不能直接通过配方法,直接法的题目,通常可采用配方法。
典型例题:
求 y=f(x)=x+√1-x
解题思路:由于这道题有根号,属于复合函数的题型,可通过换元法来求。
设√1-x=m,(m≥0),则x=1-㎡,所以
y=f(x)=x+√1-x
=1-㎡+m
=-(m-)+5/4
结合图像,如图
求函数值域的方法(高中必修一数学中)-图4

函数图象

由于m≥0,所以,函数y=-(m-)+5/4的图象变为如下图
求函数值域的方法(高中必修一数学中)-图5

有范围限制的函数图象

从这个图像以知道,它的最大值为顶点坐标时,也就是红色圆圈的那一点,最小值为红色三角形的那一点,所以当m=1/2时,y的最大值为5/4,最小值在x轴上,为0,从而
y=f(x)=x+√1-x
=1-㎡+m
=-(m-)+5/4的值域为[0,4/5]
(4)反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
典型例题:
求函数值域的方法(高中必修一数学中)-图6

反函数法求值域

解题思路:这道题应用的是反函数法,反函数在原来的教材是存在的,但新版的教材已经删除,它的解题是:先把原函数的x求出来,再把x和y互换位置,即是反函数,最后再根据:原函数的值域是它的反函数的定义域来解答。
求函数值域的方法(高中必修一数学中)-图7
总之,函数的值域求法还有很多,比如函数有界法,函数的单调性,分离常数法等等,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

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