求函数值域的方法(高中必修一数学中)
编首语：求函数值域是每年高考中必考的内容，其中的题型主要包括：求对数函数的值域，求指数函数的值域，求三角函数的值域，以及一些综合起来的题型，难度大大的增加，所以掌握求函数值域的方法和技巧，理解函数值域在综合题型中的应用，努力使自己在高考中脱颖而出。
函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多，主要是题目不同，或者说稍微有一个数字出现问题，对我们来说，解题的思路可能就会出现非常大的区别，我们要根据题目的变化，题型的变换，寻找最合适的解题方法，求值域的方法大致有主要有以下几种：
（1）观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例，反比例，一次函数，指数函数，对数函数，等等，其值域可通过观察直接得到。
典型例题：
解题思路：这道题是一道反比例的题目，考察的是增减性问题，也就是单调性，由于y=1/x在【1，2】中是减函数，当x=1时，函数有最大值，为1，当x=2时，函数有最小值，为1/2，所以可以用直接法，把x=1和2分别代入函数中即可，则【1，1/2】
解题思路：这道题考察的是根号必须大于等于0这个知识点，因为根号必须大于等于0，所以根号加2就必须大于等于2，从而得出了这个函数的值域为y≥2.
（2）配方法
适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
典型例题：
1、求y=f（m）=㎡-2m+5，m∈【-1，2】的值域
解题思路：利用二次函数的图像及性质可求的值域。
解法一：因为y=㎡-2m+5=（m-1）+4，其对称轴m=1，∵m∈【-1，2】
∴f(1)≤f（x）≤f（-1）
即4≤f(m)≤8
故求出函数y=f（m）=㎡-2m+5，m∈【-1，2】的值域为【4，8】
解法二：因为y=㎡-2m+5=（m-1）+4，其对称轴m=1，m∈【-1，2】
因为f（-1）=8
f（1）=4
f（2）=5
所以函数的最大值为8，最小值为4，函数的值域为【4，8】
解法三：因为y=㎡-2m+5=（m-1）+4，其对称轴m=1，∵m∈【-1，2】
结合图像，在m∈【-1，1）上，此函数是单调增函数，在（1，3】上，此函数是单调增函数，当m=1时，函数有最小值4，当m=-1时，函数有最大值8，应用了单调性求函数的值域。故求出函数y=f（m）=㎡-2m+5，m∈【-1，2】的值域为【4，8】
（3）换元法：
适用类型：主要针对对复合函数的值域，也就是对不能直接通过配方法，直接法的题目，通常可采用配方法。
典型例题：
求 y=f(x)=x+√1-x
解题思路：由于这道题有根号，属于复合函数的题型，可通过换元法来求。
设√1-x=m，（m≥0），则x＝1-㎡，所以
y=f(x)=x+√1-x
=1-㎡+m
＝-（m-）+5/4
结合图像，如图
由于m≥0，所以，函数y＝-（m-）+5/4的图象变为如下图
从这个图像以知道，它的最大值为顶点坐标时，也就是红色圆圈的那一点，最小值为红色三角形的那一点，所以当m＝1/2时，y的最大值为5/4，最小值在x轴上，为0，从而
y=f(x)=x+√1-x
=1-㎡+m
＝-（m-）+5/4的值域为[0，4/5]
（4）反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
典型例题：
解题思路：这道题应用的是反函数法，反函数在原来的教材是存在的，但新版的教材已经删除，它的解题是：先把原函数的x求出来，再把x和y互换位置，即是反函数，最后再根据：原函数的值域是它的反函数的定义域来解答。
总之，函数的值域求法还有很多，比如函数有界法，函数的单调性，分离常数法等等，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
