三角形内心和外心的定义(三角形的“五心”)
内心是三角形角平分线的交点。
中学数学常用到的三角形的“心”有五个：内心、外心、重心、垂心、中心。三角形的这五个“心”所涉及到的重要知识点如下。
一、三角形的内心和内心的性质
1、“内心”是三角形的角平分线交点，也是三角形的内切圆的圆心。
2、内心性质
（1）三角形的任一个顶点和它的内心的连线必定平分这个角。
（2）内心到三角形三条边的距离相等，而且都等于这个三角形的内切圆的半径长。
（3）设一个三角形ABC的内心为“O”，内切圆半径为r，三条边长分别为a、b、c，则三角形ABC的面积S=(1/2)x(a+b+c)xr。即三角形的面积等于三角形周长与其内切圆半径乘积的一半。
1、“外心”是三角形的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
【注】垂直平分线也叫“中垂线”。
2、外心性质
（1）三角形的任意一条边的中点和外心的连线必定在这条边的垂直平线上，所以也必定垂直平分这条边。
（2）外心到三角形三个顶点的距离相等，而且都等于这个三角形的外接圆的半径长。
三、三角形的重心和重心的性质
1、“重心”是三角形中线的交点。
2、重心性质（高频考点）
（1）三角形顶点与重心的连线必定在三角形的一条中线上。
（2）延长三角形的一个顶点与重心的连线，使得交于这个顶点的对边上一点，则这个交点为边上的中点。
（2）三角形的重心把三角形的任意一条中线分成两条线段，其中重心到三角形顶点的线段长是另一条线段长的2倍。
【注】三角形的三条中线长不一定相等，但在任何一条中线上，重心到顶点的线段和重心到顶点对边中点连线的线段长的比值都是2：1.
四、三角形的垂心和垂心的性质
1、垂心是三角形高线的交点。
2、垂心性质
（1）三角形的顶点与垂心的连线必定在三角形的一条高线上。
（2）三角形任何一个顶点和垂心的连线必定垂直于这个顶点的对边。
五、三角形的中心和中心的性质
1、三角形的“四心”（内心、外心、重心、垂心）重合后的点称为这个三角形的中心。只有等边三角形才有中心。
2、中心性质
因为中心是三角形的内心、外心、重心、垂心“四心”重合后的点，所以等边三角形的中心具有三角形内心、外心、重心、垂心所具有的全部性质。
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