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重心怎么证明二比一(重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1)

福瑞号2022-12-02 16:09:24问答百科158

如图,G为△ABC的重心,GA=5,GB=12,GC=13,求△ABC的面积和AB边上的高。

重心怎么证明二比一(重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1)-图1

解:延长AG、BG分别交BC、AC于D、E,延长CG至M交AB于F,且GM=GC。

因为G重心,则BG=2GE,AG=2GD,又因为GM=GC13,AE=EC,则AM=2GE,即AM=BG=12,又AG=5,有MG^2=AM^2+AG^2,∠MAG=90°,所以△MAG面积=12×5÷2=30。

因为BD=CD,△GBD的面积=△GDC的面积=a,又因为AG=2GD,则△ABG的面积=△AGC面积=2a,所以△ABC的面积=2a+2a+a+a=6a,而由MG=GC可知△AGC的面积=△MAG的面积,即2a=30,a=15,所以△ABC的面积=6a=15×6=90。

因为AM平行且等于BG,则∠BGA=∠AMG=90°,则GA=5,GB=12,AB=GC=13,由△ABC的面积=ABh÷2=90得h=180/13。

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