正切函数诱导公式(正切函数“y=tanx”是奇函数还是偶函数)

正切函数y=tanx(x≠kπ+π/2,k∈Z)是奇函数。

一、正切函数定义

我们把y=tanx(x≠kπ+π/2,k∈Z)称为正切函数。正切函数是以单位圆上点的纵坐标和横坐标的比值为函数值的函数。

二、正切函数的诱导公式和函数图像

1、正切函数的常见诱导公式

（1）tan(-α)=-tanα.

（2）tan(π+α)=tanα.

（3）tan(π-α)=-tanα.

（4）tan(kπ+α)=tanα，k∈Z.

（5）tan(2kπ+α)=tanα，k∈Z.

2、正切函数的函数图像

正切函数y=tanx(x≠kπ+π/2,k∈Z)的函数图像又叫正切曲线。正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x=kπ+π/2,k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的，其函数图像如图所示。

正切函数图像——正切曲线

三、正切函数是奇函数的原因与推导证明

1、方法一、（图像法）

因为“函数是奇函数的充要条件是其函数图像关于原点对称”，由正切函数图像可知，正切函数图像关于原点对称，所以正切函数是奇函数。

2、方法二、（奇、偶函数四则运算后的奇偶性性质）

因为“y=tanx=sinx/cosx”，而y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数。根据“奇函数与偶函数的积或商仍为奇函数”可知，正切函数y=tanx(x≠kπ+π/2,k∈Z)是奇函数。

3、方法三、（奇偶函数定义法）

由正切函数的函数解析式：y=tanx(x≠kπ+π/2,k∈Z)可知，正切函数的定义域关于原点对称。

又由正切函数的诱导公式tan(-α)=-tanα可得，

对于正切函数定义域内的任意x，都有tan(-x)=-tanx成立，

即“f(-x)=-f(x)”成立，

所以，正切函数y=tanx(x≠kπ+π/2,k∈Z)是奇函数。

【注】正切函数除了是奇函数外，还是最小正周期为“π”的周期函数。

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